| 数学教研组 肖燕鹏
很多考生对于解答数学综合题往往感到无从下手，而在高考数学中，综合题占了一半比重。因此高考数学考得是否成功，很大程度上取决于综合题做得怎样。下面我就从平时组织学生复习的过程中积累的一点经验，对数学综合题的解题策略作一些分析和探讨。
数学综合题大概可分为知识型综合题和能力型综合题两大类。知识型综合题的题目本身或解题过程涉及到数学几个分支的多个知识点，并且各个知识点之间是互相补充、制约和渗透的，主要考查考生对基本知识点的掌握、理解及运用；能力型综合题则题设条件内涵丰富，对解题过程中的转化、变换、联想、类比、归纳等技巧要求高，题目的结论还可以是开放性的，主要考查考生思维的发散性和独创性。这都是高考的热点。
针对综合题具有以上特点，可以从以下几个方面解答数学综合题：
一、 紧扣课本，揭示问题的背景
每一个问题都有其起源和背景，数学综合题更是如此，因此顺藤摸瓜，思索一下与问题有关的概念、定义或图形，还本索源，寻找产生问题的基本点。只有找到产生问题的根源，弄清问题的来龙去脉，才能得到解决问题的最佳途径。
例：给定抛物线C：y2=8(x+2),若其焦点与准线分别是椭圆E的一个焦点和一条准线，求椭圆E短轴端点的轨迹方程。
分析：问题与焦点和准线有关，故应当从定义出发。
二、 认真审题，挖掘题目中的隐含条件
数学综合题题设内涵丰富常常把许多条件不直接告诉考生，而是隐含在题设中，让考生去挖掘去发现。如果考生能挖掘出题目中的隐含条件，问题会迎刃而解。这需要考生认真审题，向深处挖掘，找出其隐含条件。
例：如图等边三角形ABC中，AB=a,O为中心,过O的直线交AB于M，交AC于N,设∠MOA=θ，（1）用θ表示
（2）求 的最大值和最小值。
分析：由（1）得： =
若不挖掘出题目中隐含了600≤θ≤1200这一条件,则所求最大值和最小值必错无疑。
三、 以简单的、特殊的情况寻找解题突破口
著名数学家波利亚在他的《怎样解题》一书中写道：你若不能解这道题，那么先试着去解决一个更容易着手的简单问题、一个更特殊的问题、一个类似的问题。的确如此，简单特殊的情形常常是解决问题的起点，也往往是解决问题的纽带。因此考生应学会从综合题中寻找简单特殊的情况，进而推广到一般情况。
例：已知0<ai<1(i=1,2,3…,n),求证：a1a2a3…an> a1+a2+a3+…+an+1-n(n∈N且n≥2)
分析:(1)当n=2时，a1+a2-1-a1a2= -(a1-1)(a2-1)<0,即a1a2>a1+a2-1,命题成立
(2)假设n=k时a1a2a3…ak> a1+a2+a3+…+ak+1-k成立
则当n=k+1时，为了利用n=k时假设，并注意到0<ai<1,由前面n=2时的不等式可得：
（a1a2a3…ak）·ak+1>(a1a2a3…ak)+ak+1>(a1+a2+a3+…+ak+1-k)+ak+1-1= a1+a2+a3+…+ak+1+1-(k+1)
故n=k+1时命题成立
根据（1）（2）可知对一切n≥2的自然数命题都成立
在这里简单命题n=2时的结论既是问题解决的起点，又是由n=k到n=k+1过渡过程中的一个至关重要的纽带。
四、 数学结合，简化解题过程
数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象，形是数的直观表现，数形结合是重要的数学思想和常用的方法。考生在利用数形结合思想解决问题时，首先要深刻理解概念的几何意义及曲线的代数特征，对题目中的条件既要分析其代数含义，又要分析其几何意义，力求在代数与几何的结合上寻找解题方法。
例：设f(x)是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z用Ik表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时，f(x)=x2
(1) 求f(x)在区间Ik上的解析式
(2) 对自然数k，求集合Mk ={a|使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根}
分析：(1)由于是f(x) 在I0=（-1，1]上表达式为f(x)=x2,它又是以2为周期的函数，
由图（1）知函数f(x)在Ik上图象是I0上的图象沿x轴平移了|2k|个单位，故f(x)在Ik上表达式为：f(x)=(x-2k)2 k∈Z
(2)令y1=f1(x)=(x-2k)2,x∈(2k-1,2k+1)(k∈N) y2=f2(x)=ax,其图象如图(2)，要使方程f1(x)=f2(x)
在Ik上有两个不等实根，必须使函数f1(x)与f2(x) 的
图象在Ik上有两个不同交点，易得：
0<a≤ 故Mk={a|0<a≤ , k∈N}
五、分类讨论，化整为零
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想。考生在利用分类讨论的思想解数学综合题时要注意两个方面。第一是明确分类的原则。分类的原则是：对象确定、标准统一、不重不漏、逐级进行。第二是弄清引起分类讨论的原因。引起分类讨论的主要原因有：由数学概念引起的分类讨论，如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点公式、复数辐角的主值等；由数学运算引起的分类讨论，如除式不能为零、实数集内开偶次方被开方数必须非负、对数的真数必须为正等；由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，指数、对数函数的单调性、等比数列的求和等；由参数的变化引起的分类讨论，如参数方程或不等式、直线的点斜式或斜截式方程等，以及由图形的位置不确定引起的分类讨论。
例：四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1∶1∶1∶3,求满足条件的平面M个数
分析：由四面体四个顶点与平面M的位置关系可分为四类
(1)4个顶点在M的同一侧；
(2))距离为3的顶点与其它3个顶点不在M同侧
(3)距离为3的顶点一其它3个顶点中的1个在M的同侧
(4)距离为3的顶点一其它3个顶点中的2个在M的同侧
六、 构造辅助问题，换一个角度去思考
波利亚指出：“当原问题看来不可解时，人的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍，能构造出某个适当的辅助问题”。这里所说的辅助问题无非是将原问题转化为一个熟悉的容易解决的问题，达到“柳暗花明又一村”的效果。因此考生在解综合题时，不要死钻“牛角尖”，当一种方法行不通时，不妨换一个角度去思考，退一步可能会海阔天空。
例：已知：a,b,c 是ΔABC三边，求证：
分析：令f(x)= (x>0),易知函数f(x)是(0，+∞)上的增函数,因此f(a+b)>f(c)
即 又 ，故原不等式成立。 | 